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Reglas para calcular con series.

A veces surge la pregunta de cómo cambia el comportamiento de convergencia de una serie cuando manipulamos la serie. todos los miembros de una serie con un factor C, entonces el comportamiento de convergencia de la serie no cambia y de acuerdo con las reglas de cálculo para sumas:

k=1Cak=Ck=1ak=CS..

Si tenemos dos series convergentes, podemos restarlas o sumarlas término por término. Es tan S.=k=1tuk y T=k=1vkentonces obtenemos:

k=1tuk±k=1vk=k=1(tuk±vk)=S.±T.

Si tenemos dos series absolutamente convergentes, podemos multiplicarlas como dos polinomios y obtenemos otra serie convergente. Están

S.=k=1tukyT=k=1vk

absolutamente convergente, entonces:

W.=k=1wk=S.T

con

wk=tukv1+tukv2+tukv3+ .

Además, para series absolutamente convergentes, la suma de las series no cambia con ningún intercambio en el orden de los términos. Por otro lado, la suma de una serie condicionalmente convergente puede asumir cualquier valor mediante la reordenación adecuada de los términos de suma (teorema de la reordenación de Riemann).

teorema
es k=1ak una serie infinita convergente, pero no absolutamente convergente, y se convierte enS. dado arbitrariamente, hay un reordenamiento k=1Bk en línea con k=1Bk=S..