Filas

Reglas para calcular con series.

A veces surge la pregunta de cómo cambia el comportamiento de convergencia de una serie cuando manipulamos la serie. todos los miembros de una serie con un factor $\mathit{C}$, entonces el comportamiento de convergencia de la serie no cambia y de acuerdo con las reglas de cálculo para sumas:

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }\mathit{C}\cdot {\mathit{a}}_{\mathit{k}}=\mathit{C}\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}=\mathit{C}\cdot \mathit{S.}.$$

Si tenemos dos series convergentes, podemos restarlas o sumarlas término por término. Es tan $\mathit{S.}={\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{tu}}_{\mathit{k}}$ y $\mathit{T}={\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{v}}_{\mathit{k}}$entonces obtenemos:

$$\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{tu}}_{\mathit{k}}\pm \sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{v}}_{\mathit{k}}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }({\mathit{tu}}_{\mathit{k}}\pm {\mathit{v}}_{\mathit{k}})=\mathit{S.}\pm \mathit{T}\text{.}$$

Si tenemos dos series absolutamente convergentes, podemos multiplicarlas como dos polinomios y obtenemos otra serie convergente. Están

$$\mathit{S.}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{tu}}_{\mathit{k}}\text{y}\mathit{T}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{v}}_{\mathit{k}}$$

absolutamente convergente, entonces:

$$\mathit{W.}=\sum _{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{w}}_{\mathit{k}}=\mathit{S.}\mathit{T}$$

con

$${\mathit{w}}_{\mathit{k}}={\mathit{tu}}_{\mathit{k}}{\mathit{v}}_1+{\mathit{tu}}_{\mathit{k}}{\mathit{v}}_2+{\mathit{tu}}_{\mathit{k}}{\mathit{v}}_3+\dots \text{.}$$

Además, para series absolutamente convergentes, la suma de las series no cambia con ningún intercambio en el orden de los términos. Por otro lado, la suma de una serie condicionalmente convergente puede asumir cualquier valor mediante la reordenación adecuada de los términos de suma (teorema de la reordenación de Riemann).

teorema

es ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{a}}_{\mathit{k}}$ una serie infinita convergente, pero no absolutamente convergente, y se convierte en$\mathit{S.}\in ℝ$ dado arbitrariamente, hay un reordenamiento ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{B}}_{\mathit{k}}$ en línea con ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\infty }{\mathit{B}}_{\mathit{k}}=\mathit{S.}$.