Líneas espectrales

El ancho de línea natural

El ancho de línea natural es el ancho de línea mínimo que siempre está presente, causado por la vida útil limitada $\tau$estados emocionados. Una vida útil promedio de es típica de las transiciones ópticas. $\tau ={10}^{-9}\text{-}{10}^{-8}s$. Tan pronto como una fuente de radiación electromagnética clásica pierde energía a través de la radiación, un estado atómico excitado se despobla. Los cálculos de mecánica cuántica muestran que el número de átomos en un estado excitado disminuye exponencialmente con el tiempo:

$$\mathrm{norte}\left(t\right)={\mathrm{norte}}_0{\mathrm{mi}}^{-\lambda t}\lambda =\frac{1}{\tau }$$

Aquí está $\tau$ la vida media del estado atómico excitado ($\lambda$ un parámetro), ${\mathrm{norte}}_0$ el número de átomos en el estado excitado en ese momento $t=0$ y, en consecuencia $\mathrm{norte}(t)$ su número en ese momento $t$. En consecuencia, se observa una disminución exponencial de la intensidad de la radiación. $\mathrm{I.}$como es de esperar según el principio de correspondencia:

$$\mathrm{I.}\left(t\right)={\mathrm{I.}}_0{\mathrm{mi}}^{-\lambda t}.$$

Debido a que la intensidad de la radiación es proporcional al cuadrado de la amplitud $\mathrm{UNA.}$ del campo magnético eléctrico o proporcional, se aplica lo siguiente:

$$\mathrm{UNA.}\left(t\right)={\mathrm{UNA.}}_0{\mathrm{mi}}^{-\frac{\lambda }{2}t}{\mathrm{mi}}^{I{\omega }_{0}t}.$$

Está ${\omega }_0$ la frecuencia angular de la oscilación no amortiguada (esta es suya con $2\pi$ frecuencia multiplicada ${\nu }_0$). Antes del punto en el tiempo $t=0$ no hay campo. Luego puede realizar una transformada de Fourier y obtener:

$$\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{UNA.}}(\omega )={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\mathrm{UNA.}}_0}{\mathrm{mi}}^{-\frac{\lambda }{2}t}{\mathrm{mi}}^{I{\omega }_{0}t}{\mathrm{mi}}^{-I\omega t}Dt={\mathrm{UNA.}}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\mathrm{mi}}^{-(\frac{\lambda }{2}+I(\omega -{\omega }_0))t}Dt}=\frac{{\mathrm{UNA.}}_0}{\frac{\lambda }{2}+I(\omega -{\omega }_0)}\\ |\widehat{\mathrm{UNA.}}(\omega ){|}^2=\frac{{\mathrm{UNA.}}_0^2}{{(\omega -{\omega }_0)}^2+{\left(\frac{\lambda }{2}\right)}^2}\end{array}$$

Dado que la distribución espectral de la intensidad es proporcional al cuadrado de la magnitud de esta descomposición de Fourier, la línea tiene la forma de una curva de Lorentz:

$$\widehat{\mathrm{I.}}\left(\omega \right)={\widehat{\mathrm{I.}}}_0\frac{{\left(\frac{\lambda }{2}\right)}^2}{{\left(\omega -{\omega }_0\right)}^2+{\left(\frac{\lambda }{2}\right)}^2}.$$

La mitad de ancho de una línea espectral significa su ancho a la mitad de la altura de su valor pico. Para un perfil de Lorentz, esto es igual al parámetro $\lambda$:

$$\text{Δ}{\omega }_{1/2}=\lambda =\frac{1}{\tau }.$$

Para $\tau ={10}^{-8}\text{s}$ es tan $\text{Δ}{\omega }_{1/2}=100\text{megahercio}$ o $\nu \approx 15,9\text{megahercio}$. Esto es muchas veces más pequeño que el ensanchamiento Doppler.

De la fórmula anterior se sigue:

$$\begin{array}{l}\text{Δ}{\omega }_{1/2}\cdot \tau =1\\ \Delta {\mathrm{MI.}}_{1/2}=H\Delta {\nu }_{1/2}=H\frac{\Delta {\omega }_{1/2}}{2\pi }\\ \Rightarrow \text{Δ}{\mathrm{MI.}}_{1/2}\cdot \tau =\hslash .\end{array}$$

Esto no es más que la relación de incertidumbre energía-tiempo análoga a la relación de incertidumbre de Heisenberg con el cuanto de acción de Planck.$H$ .

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